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\title{Julia Set 的探索与分析}
\author{强基数学2001 \\ 3200102452 关博仁}
\date{\zhtoday}

\begin{document}

%% 标题页
\maketitle

%% 目录
\begin{frame}{目录}
    \begin{enumerate}
    \item Julia集的定义
    \item Julia集的性质
    \item 逃逸时间算法
    \item Julia集可视化
    \end{enumerate}
\end{frame}

%% 定义
\begin{frame}{Julia集的定义}
    Julia集:
    \[
        \mathcal{J}_c=\{z\in\mathbb{C}|f(z)=z^2+c,\quad\lim\limits_{n\to\infty} f^n(z)<\infty\}
    \]
\end{frame}

%% 性质
\begin{frame}{Julia集的性质}
    \begin{itemize}
        \item 性质一: Julia集的图像关于0对称。
        \item 性质二: $J_c$图像连通$\Leftrightarrow c\in \mathcal{M}$
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Julia集的性质}
    \begin{itemize}
        \item 性质一: Julia集的图像关于0对称。
        \item 性质二: $J_c$图像连通$\Leftrightarrow c\in \mathcal{M}$
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Julia集的性质}
    性质二是由如下强大的定理推得:\newline
    
    定理1:
    \[\{c\in\mathbb{C}|\mathcal{J}_c\text{连通}\}\]与\[\{c\in\mathbb{C}|f(z)=z^2+c,\quad\lim\limits_{n\to\infty} f^n(0)<\infty\}\]等价\newline
    
    由此揭示了Julia集与Mandelbrot集的紧密联系
\end{frame}

\begin{frame}{逃逸时间算法}
    逃逸时间算法是一种研究分形几何的重要计算方法，其主要思想在于:
    \begin{itemize}
        \item 确定逃逸半径极限$r$并设置逃逸时间$N$(最大迭代次数)
        \item 对所选区域每一点进行迭代，并记录逃逸时间
        \item 根据逃逸时间生成可视化图形
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{逃逸时间算法}
    伪代码:
    \begin{figure}
        \centering
        \includegraphics[width=\textwidth]{psudo.png}
    \end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}{Julia集可视化}
    以下是一些Julia集可视化的计算结果，选取一些样例以原点为中心缩放，得到一系列优美结果:
\end{frame}

\begin{frame}{Julia集可视化}
    这里是两个经典案例，分别叫做Basilica与Douady rabbit，分别为在$-1,-0.123+0.754i$处取得的值
    \includegraphics[width=0.48\textwidth]{../graph/c_(-1+0j)_1.png}
    \includegraphics[width=0.48\textwidth]{../graph/c_(-0.123+0.754j)_1.png}
\end{frame}


\begin{frame}{Julia集可视化$\quad z=0.319+0.57i$}
    \includegraphics[width=0.48\textwidth]{../graph/c_(0.319+0.57j)_1.png}
    \includegraphics[width=0.48\textwidth]{../graph/c_(0.319+0.57j)_2.png}
    \includegraphics[width=0.48\textwidth]{../graph/c_(0.319+0.57j)_4.png}
    \includegraphics[width=0.48\textwidth]{../graph/c_(0.319+0.57j)_8.png}
\end{frame}

\begin{frame}{Julia集可视化$\quad z=-0.71958-0.27682i$}
    \includegraphics[width=0.48\textwidth]{../graph/c_(-0.71958-0.27682j)_1.png}
    \includegraphics[width=0.48\textwidth]{../graph/c_(-0.71958-0.27682j)_2.png}
    \includegraphics[width=0.48\textwidth]{../graph/c_(-0.71958-0.27682j)_4.png}
    \includegraphics[width=0.48\textwidth]{../graph/c_(-0.71958-0.27682j)_8.png}
\end{frame}

\begin{frame}{Julia集可视化$\quad z=-0.71958-0.27682i$}
    \includegraphics[width=0.48\textwidth]{../graph/c_(-0.71958-0.27682j)_16.png}
    \includegraphics[width=0.48\textwidth]{../graph/c_(-0.71958-0.27682j)_32.png}
    \includegraphics[width=0.48\textwidth]{../graph/c_(-0.71958-0.27682j)_64.png}
    \includegraphics[width=0.48\textwidth]{../graph/c_(-0.71958-0.27682j)_128.png}
\end{frame}

\begin{frame}{Julia集可视化$\quad z=-0.10539+0.89093i$}
    \includegraphics[width=0.48\textwidth]{../graph/c_(-0.10539+0.89093j)_1.png}
    \includegraphics[width=0.48\textwidth]{../graph/c_(-0.10539+0.89093j)_2.png}
    \includegraphics[width=0.48\textwidth]{../graph/c_(-0.10539+0.89093j)_4.png}
    \includegraphics[width=0.48\textwidth]{../graph/c_(-0.10539+0.89093j)_8.png}
\end{frame}

\begin{frame}{Julia集可视化$\quad z=-0.10539+0.89093i$}
    \includegraphics[width=0.48\textwidth]{../graph/c_(-0.10539+0.89093j)_16.png}
    \includegraphics[width=0.48\textwidth]{../graph/c_(-0.10539+0.89093j)_32.png}
    \includegraphics[width=0.48\textwidth]{../graph/c_(-0.10539+0.89093j)_64.png}
    \includegraphics[width=0.48\textwidth]{../graph/c_(-0.10539+0.89093j)_128.png}
\end{frame}

\begin{frame}{结语}
    综上所述，我们得到的图片都具有分形性质，并且精确度较高。
\end{frame}

\begin{frame}{结语}
    \begin{center}
        感谢观看！
    \end{center}
\end{frame}

\end{document}